Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,求的值；

(2)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上至少存在一個(gè),使得成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義，在的切線(xiàn)方程斜率即為，從而得到

n-m=3；又因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線(xiàn)上，所以。而切點(diǎn)又在曲線(xiàn)方程上，可以得到，所以。

（2）根據(jù)函數(shù)至少存在一個(gè),使得成立,所以可以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的討論確定函數(shù)的單調(diào)性；再在各自單調(diào)區(qū)間內(nèi)分析函數(shù)的單調(diào)性，這樣就可以得到，從而確定m的取值范圍。

詳解:(1)因?yàn)?/span>,所以,即.

又因?yàn)?/span>,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為,

因?yàn)榍悬c(diǎn)在直線(xiàn)上,所以.

(2)因?yàn)?/span>,所以 .

當(dāng)時(shí), ,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,令,此時(shí),符合題意；

當(dāng)時(shí),令,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

①當(dāng),即時(shí),則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增

,解得.

②當(dāng),即時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,解得,無(wú)解.

綜上，，即得取值范圍是.