Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|-lnx．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]的最大值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）在[1，e]上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得其最大值；
（2）求出f（x）的定義域，先按（�。゛≤0，（ⅱ）a＞0兩種情況進(jìn)行討論，其中a＞0時(shí)討論去絕對(duì)值符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷單調(diào)性；
（3）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞），f（x）＞0，即|x-a|＞

lnx

x

．根據(jù)

lnx

x

的符號(hào)對(duì)x進(jìn)行分類(lèi)討論：x∈（0，1）時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，其中x＞1時(shí)去掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可解決．

解答：解：（1）若a=1，則f（x）=x|x-1|-lnx．
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）=x²-x-lnx，
f′(x)=2x-1-

1

x

=

2x2-x-1

x

＞0，
所以f（x）在[1，e]上單調(diào)增，
∴f(x)max=f(e)=e2-e-1．
（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．
（�。┊�(dāng)a≤0時(shí)，則f（x）=x²-ax-lnx，
f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x0=

a+ a2+8

4

＞0（負(fù)根舍去），
且當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在(0，

a+ a2+8

4

)上單調(diào)遞減，在(

a+ a2+8

4

，+∞)上單調(diào)遞增．
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，
①當(dāng)x≥a時(shí)，f′(x)=2x-a-

1

x

=

2x2-ax-1

x

，
令f′（x）=0，得x1=

a+ a2+8

4

（x=

a- a2+8

4

＜a舍），
若

a+ a2+8

4

≤a，即a≥1，則f′（x）≥0，
所以f（x）在（a，+∞）上單調(diào)增；
若

a+ a2+8

4

＞a，即0＜a＜1，則當(dāng)x∈（0，x₁）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₁，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間(0，

a+ a2+8

4

)上是單調(diào)減，在(

a+ a2+8

4

，+∞)上單調(diào)增．
②當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f′(x)=-2x+a-

1

x

=

-2x2+ax-1

x

，
令f′（x）=0，得-2x²+ax-1=0，記△=a²-8，
若△=a²-8≤0，即0＜a≤2

2

，則f′（x）≤0，
故f（x）在（0，a）上單調(diào)減；
若△=a²-8＞0，即a＞2

2

，
則由f′（x）=0得x3=

a- a2-8

4

，x4=

a+ a2-8

4

，且0＜x₃＜x₄＜a，
當(dāng)x∈（0，x₃）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x₃，x₄）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x∈（x₄，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以f（x）在區(qū)間(0，

a- a2-8

4

)上是單調(diào)減，在(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)上單調(diào)增；在(

a+ a2-8

4

，+∞)上單調(diào)減．
綜上所述，當(dāng)a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

a+ a2+8

4

)，單調(diào)遞增區(qū)間是(

a+ a2+8

4

，+∞)；
當(dāng)1≤a≤2

2

時(shí)，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，a），單調(diào)的遞增區(qū)間是（a，+∞）；
當(dāng)a＞2

2

時(shí)，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，

a- a2-8

4

）和(

a+ a2-8

4

，a)，單調(diào)的遞增區(qū)間是(

a- a2-8

4

，

a+ a2-8

4

)和（a，+∞）．
（3）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤∈（0，+∞）．
由f（x）＞0，得|x-a|＞

lnx

x

．*
（�。┊�(dāng)x∈（0，1）時(shí)，|x-a|≥0，

lnx

x

＜0，不等式*恒成立，所以a∈R；
（ⅱ）當(dāng)x=1時(shí)，|1-a|≥0，

lnx

x

=0，所以a≠1；       
（ⅲ）當(dāng)x＞1時(shí)，不等式*恒成立等價(jià)于a＜x-

lnx

x

恒成立或a＞x+

lnx

x

恒成立．
令h(x)=x-

lnx

x

，則h′(x)=

x2-1+lnx

x2

．
因?yàn)閤＞1，所以h'（x）＞0，從而h（x）＞1．
因?yàn)?span id="9j9t40v" class="MathJye">a＜x-

lnx

x

恒成立等價(jià)于a＜（h（x））_min，所以a≤1．
令g(x)=x+

lnx

x

，則g′(x)=

x2+1-lnx

x2

．
再令e（x）=x²+1-lnx，則e′(x)=2x-

1

x

＞0在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上無(wú)最大值．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的a的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求較高．