Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a²+b²的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）的三個零點分別為

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，求證：a²=2b+3．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)在區(qū)間[-1，0]上是單調(diào)遞減，得到導函數(shù)小于等于0恒成立即f′（-1）≤0且f′（0）≤0代入得到一個不等式組，可以把而a²+b²可視為平面區(qū)域

3-2a+b≤0 b≤0

內(nèi)的點到原點的距離的平方，則由點到直線的距離公式求出即可得到最小值；
（2）f（1）=0得到a、b、c的關系式，利用關系式化簡f（x），因為函數(shù)f（x）的三個零點分別為

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，所以方程的兩根為

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，利用根與系數(shù)的關系化簡可得證．

解答：解：（1）依題意，f′（x）=3x²+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立．
只需要

f′(-1)≤0 f′(0)≤0

即可，也即

3-2a+b≤0 b≤0

，而a²+b²可視為平面區(qū)域

3-2a+b≤0 b≤0

內(nèi)的點到原點的距離的平方，由點到直線的距離公式d²=(

|3|

5

)2=

9

5

，
∴a²+b²的最小值為

9

5

．
（2）由f（1）=0，得c=-a-b-1，
∴f（x）=x³+ax²+bx+c=x³+ax²+bx-（a+b+1）=（x-1）[x²+（a+1）x+（a+b+1）]
因為函數(shù)f（x）的三個零點分別為

I-t

，

I+t

(0＜t＜I)，
∴方程x²+（a+1）x+（a+b+1）=0的兩根是

1-t

，

1+t

，
∴

1-t

+

1+t

=-（a+1），

1-t

•

1+t

=a+b+1．
(

1-t

+

1+t

) 2=（a+1）²即1-t+2

1-t

•

1+t

+1+t=（a+1）²
∴2+2（a+b+1）=（a+1）²
∴a²=2b+3

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的能力，理解函數(shù)零點的意義，理解二元一次不等式組與平面區(qū)域的關系．