Question

已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+2．
（1）設(shè)集合P={1，2，3}，Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機取一個數(shù)作為a，從集合Q中隨機取一個數(shù)作為b，求方程f（x）=0有兩相等實根的概率；
（2）設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

解：（1）∵方程ax²-4bx+2=0有兩等根，則△=16b²-8a=0即a=2b²
若a=2則b=-1或1
∴事件包含基本事件的個數(shù)是2個，可得所求事件的概率為；
（2）函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為，當(dāng)且僅當(dāng)2b≤a且a＞0時，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為
構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分．
由，
∴所求事件的概率為
分析：（1）先確定a、b取值的所有情況得到共有15種情況．因為方程有兩個相等的根，所以根的判別式為零得到a=2b²，結(jié)合a=2b²占2種情況，即可求得方程f（x）=0有兩個相等實根的概率；
（2）本小題是一個幾何概型的概率問題，先根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗發(fā)生包含的事件對應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，做出面積，利用幾何概型計算公式得到結(jié)果．
點評：古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積的比值得到．