Question

拋物線C的方程為y=ax²(a＜0),過(guò)拋物線C上一點(diǎn)P(x₀,y₀)(x₀≠0)作斜率分別為k₁、k₂的兩條直線交拋物線C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同),且滿足k₂+λk₁=0(λ≠0且λ≠-1).

(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

(2)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M滿足=λ,證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上;

(3)當(dāng)λ=1時(shí),若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1),求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍.

Answer 1

(1)解：由拋物線C的方程y=ax²(a＜0＝,得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),準(zhǔn)線方程為y=-.

(2)證明：設(shè)直線PA的方程為y-y₀=k₁(x-x₀),直線PB的方程為y-y₀=k₂(x-x₀).

    點(diǎn)P(x₀,y₀)和點(diǎn)A(x₁,y₁)的坐標(biāo)是方程組

的解,將（2）代入（1）得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0,于是x₁+x₀=,x₁=-x₀                (3)

    又點(diǎn)P(x₀,y₀)和點(diǎn)B(x₂,y₂)的坐標(biāo)是方程組

的解.將（5）代入（4）得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0,于是x₂+x₀=,x₂=-x₀.（6）

    由已知k₂=-λk₁,

    則x₂=--x₀.

    設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x_M,y_M),由=λ,則

x_M===-x₀.∴x_M+x₀=0,即線段PM的中點(diǎn)在y軸上.

(3)解：∵點(diǎn)P(1,-1)在拋物線y=ax²上,∴a=-1,拋物線的方程為y=-x².

    由（3）式知x₁=-k₁-1,代入y=-x²得y₁=-(k₁+1)².

    將λ=1代入（6）式得x₂=k₁-1,代入y=-x²得y₂=-(k₁-1)².

∴A(-k₁-1,-k₁²-2k₁-1)、B(k₁-1,-k₁²+2k₁-1).

    于是=(k₁+2,k₁²+2k₁),

=(2k₁,4k₁).

·=2k₁(k₁+2)+4k₁(k₁²+2k₁)=2k₁(k₁+2)(2k₁+1).

∵∠PAB為鈍角且P、A、B三點(diǎn)互不相同,故·＜0,即2k₁(k₁+2)(2k₁+1)＜0.

∴k₁＜-2或-＜k₁＜0.

    又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁滿足y₁=-(k₁+1)²,故

    當(dāng)k₁＜-2時(shí),y₁＜-1;

    當(dāng)-＜k₁＜0時(shí),-1＜y₁＜-.

∴∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍為(-∞,-1)∪(-1,-).