Question

過點（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當△AOB的面積最小時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：由題意可設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．由于直線l過點（1，2），代入直線方程得到

1

a

+

2

b

=1．利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值時a，b，即可得到直線l的方程．

解答：解：由題意可設直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1，a＞0，b＞0．
∵直線l過點（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1．
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，
∴ab≥8，當且僅當

1

a

=

2

b

=

1

2

，即a=2，b=4是取等號．
此時△AOB的面積取得最小值

1

2

ab即4，直線l的方程為

x

2

+

y

4

=1，即2x+y-4=0．

點評：本題考查了直線的截距式方程、基本不等式的性質、三角形的面積，屬于基礎題．