Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

x+1

．
（I）用定義證明函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)；
（II）求該函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)任取兩數(shù)x₁，x₂并規(guī)定好大小，再作差f（x₁）-f（x₂），根據(jù)增函數(shù)的定義判斷即可；
（Ⅱ）又（1）可知f（x）=

2x+1

x+1

在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)，從而在[2，4]上亦然為增函數(shù)，于是可求得函數(shù)在區(qū)間[2，4]上的最大值與最小值．

解答：（I）證明：任取1≤x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1+1

-

2x2+1

x2+1

=

(x1-x2)

(x1+1)•(x2+1)

，
∵1≤x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=

2x+1

x+1

在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)；
（II）由（I）知函數(shù)f（x）=

2x+1

x+1

在[2，4]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（4）=

2×4+1

4+1

=

9

5

，
f（x）_min=f（2）=

5

3

．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，著重考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明其單調(diào)性，屬于中檔題．