Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，為直角梯形，，，，，過(guò)點(diǎn)作平面平行于平面，平面與棱，，，分別相交于點(diǎn)，，，.

(1)求的長(zhǎng)度；

(2)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：

（1）【法一】（Ⅰ）由面面平行的性質(zhì)定理可得，，

則∽，由相似三角形的性質(zhì)計(jì)算可得

【法二】由面面平行的性質(zhì)定理可得，，

則∽，由題意結(jié)合余弦定理可得.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得平面的法向量為,平面的法向量則二面角的余弦值.

試題解析：

（1）【法一】（Ⅰ）因?yàn)?/span>平面，平面平面，

，平面平面，所以，同理，

因?yàn)?/span>∥，

所以∽，且，

所以，，

同理，

連接，則有∥，

所以，，所以，同理，，

過(guò)點(diǎn)作∥交于，則

【法二】因?yàn)?/span>平面，平面平面，,

平面平面，

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，所以，同理，

因?yàn)?/span>,所以，且,

又因?yàn)?/span>∽，,所以，

同理,，

如圖：作,

所以，

故四邊形為矩形，即,

在中,所以，所以.

（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

,設(shè)平面的法向量為,

,令，得,

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面的法向量

，二面角的余弦值為