Question

(12分) 設數(shù)列的前項和為，對一切，點都在函數(shù) 的圖象上． (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 將數(shù)列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內各數(shù)之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數(shù)列為，求的值；（3）設為數(shù)列的前項積，若不等式對一切都成立，求的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) ="2010 " （Ⅲ）

(Ⅰ)因為點在函數(shù)的圖象上，故，
所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．
用數(shù)學歸納法證明如下：
① 當時，有上面的求解知，猜想成立．
② 假設時猜想成立，即成立，
則當時，注意到，
故，．
兩式相減，得，所以．
由歸納假設得，，故．
這說明時，猜想也成立．由①②知，對一切，成立 ．
另解：因為點在函數(shù)的圖象上，
故，所以①．令，得，所以；
時 ②時①－②得
令，即與比較可得，解得．因此
又，所以，從而．
(Ⅱ)因為（），所以數(shù)列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號， 故 是第25組中第4個括號內各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20. 同理，由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20. 故各組第4個括號中各數(shù)之和構成等差數(shù)列，且公差為80. 注意到第一組中第4個括號內各數(shù)之和是68，所以 ．又=22，所以=2010.
（Ⅲ）因為，故，
所以．
又，
故對一切都成立，就是
對一切都成立．……………9分
設，則只需即可．
由于，
所以，故是單調遞減，于是．
令即 ，解得，或．
綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實數(shù)的取值范圍是