Question

過拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)為M，則直線QM的方程可能為（　　）

A．3x+2y+3=0

B．3x-5y+6=0

C．2x+3y+4=0

D．x-2y+1=0

Answer 1

分析：可通過P，M，Q三點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，由

BM

∥

BQ

且

BM

，

BQ

有公共點(diǎn)B可得B，M，Q三點(diǎn)共線，即直線PQ一定過點(diǎn)B（-1，0）即直線一定過準(zhǔn)線與X軸交點(diǎn)，結(jié)合選項(xiàng)可檢驗(yàn)

解答：解：由題意可得，y²=4x的焦點(diǎn)F91，0），準(zhǔn)線x=-1，由題意可設(shè)直線PQ的方程為x=ky+1
聯(lián)立方程

y2=4x x=ky+1

可得y²-4ky-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₁，-y₁），y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4
過P，M，Q三點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為A，C，D，準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)B（-1，0），
則

BM

=(x1+1，-y1)，

BQ

=(x2+1，y2)
而（1+x₁）y₂+（1+x₂）y₁=x₁y₂+x₂y₁+y₁+y₂
=

y12y2+y22y1

4

-4×（-1）k=

(y1+y2)y1y2

4

+4k=0
∴

BM

∥

BQ

∵

BM

，

BQ

有公共點(diǎn)B
∴B，M，Q三點(diǎn)共線，即直線PQ一定過點(diǎn)B（-1，0）
結(jié)合選項(xiàng)可知只有選項(xiàng)D符合條件
故選D

點(diǎn)評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用．