Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c（a＞0），且f（1）．

（1）求證：函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

（2）設(shè)x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求|x1﹣x2|的取值范圍；

（3）求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）通過(guò)計(jì)算一元二次方程的判別式可以證明出結(jié)論；

（2）利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，可以得到|x1﹣x2|的表達(dá)式，再利用配方法求出取值范圍；

（3）根據(jù)零點(diǎn)存在原理，分類討論證明出結(jié)論.

（1）∵，

∴，∴，

∴，

∵a＞0，

∴△＞0恒成立，

故函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

（2）由x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

則x1，x2是方程f（x）＝0的兩個(gè)根．

∴，，

∴|x1﹣x2|．

∴|x1﹣x2|的取值范圍是．

（3）證明：∵f（0）＝c，f（2）＝4a+2b+c，

由（1）知：3a+2b+2c＝0，

∴f（2）＝a﹣c．

（ⅰ）當(dāng)c＞0時(shí)，有f（0）＞0，又∵a＞0，

∴，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

（ⅱ）當(dāng)c≤0時(shí)，f（2）＝a﹣c＞0，f（1）＜0，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．