Question

（04年北京卷文）(14分)

如圖,在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AB=2,AA₁=2,由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱AA₁到頂點(diǎn)C₁的最短路線(xiàn)與AA₁的交點(diǎn)記為M.求:

(Ⅰ)三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng);

(Ⅱ)該最短路線(xiàn)的長(zhǎng)及的值;

(Ⅲ)平面C₁MB與平面ABC所成二面角(銳角)的大小.

Answer 1

解析：(Ⅰ)正三棱柱ABC―A₁B₁C₁的側(cè)面展開(kāi)圖是長(zhǎng)為6,寬為2的矩形,其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為

(Ⅱ)如圖,將側(cè)面AA₁B₁B繞棱AA₁旋轉(zhuǎn)120º使其

   側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置,連接DC₁交AA₁于M,

  則DC₁就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱AA₁到頂點(diǎn)C₁的最短路線(xiàn),其長(zhǎng)為

 ∵   ∴AM=A₁M,故

 (Ⅲ)連接DB,C₁B,則DB就是平面C₁MB與平面ABC的交線(xiàn).在ΔDCB中,

∵∴CB⊥DB,

又C₁C⊥平面CBD,

由三垂線(xiàn)定理得C₁B⊥DB.

 ∴∠C₁BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角(銳角).

∵側(cè)面C₁B₁BC是正方形,

∴∠C₁BC=45º.

     故平面C₁MB與平面ABC所成的二面角(銳角)為45º.      (14分)