Question

【題目】已知圓M過(guò)兩點(diǎn)A（1，﹣1），B（﹣1，1），且圓心M在直線(xiàn)x+y﹣2=0上．
（1）求圓M的方程．
（2）設(shè)P是直線(xiàn)3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PC、PD是圓M的兩條切線(xiàn)，C、D為切點(diǎn)，求四邊形PCMD面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)圓心M（a，b），則a+b﹣2=0①，

又A（1，﹣1），B（﹣1，1），

∴kAB= =﹣1，

∴AB的垂直平分線(xiàn)l的斜率k=1，又AB的中點(diǎn)為O（0，0），

∴l(xiāng)的方程為y=x，而直線(xiàn)l與直線(xiàn)x+y﹣2=0的交點(diǎn)就是圓心M（a，b），

由 解得： ，又r=|MA|=2，

∴圓M的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．

（2）解：如圖：

SPCMD=|MC||PC|=2 =2 ，

又點(diǎn)M（1，1）到3x+4y+8=0的距離d=|MN|= =3，

所以|PM|min=d=3，

所以（SPCMD）min=2 =2 ．

【解析】（1）設(shè)圓心M（a，b），依題意，可求得AB的垂直平分線(xiàn)l的方程，利用方程組可求得直線(xiàn)l與直線(xiàn)x+y﹣2=0的交點(diǎn)，即圓心M（a，b），再求得r=|MA|=2，即可求得

圓M的方程；（2）作出圖形，易得SPCMD=|MC||PC|=2 =2 ，利用點(diǎn)到直線(xiàn)間的距離公式可求得|PM|min=d=3，從而可得（SPCMD）min=2 ．