Question

設函數f（x）=|x²-2x|．
（1）畫出f（x）=|x²-2x|在區(qū)間[-1，4]上函數f（x）的圖象；并根據圖象寫出該函數在[-1，4]上的單調區(qū)間；
（2）試討論方程f（x）=a在區(qū)間[-1，4]上實數根的情況，并加以簡要說明．

Answer 1

分析：（1）去絕對值寫出分段函數，然后利用二次函數作出部分草圖，并由圖象得到函數在[-1，4]上的單調區(qū)間；
（2）利用轉化思想方法，結合圖象得到方程f（x）=a在區(qū)間[-1，4]上實數根的情況．

解答：解：（1）f（x）=|x²-2x|=

x2-2x，(-1≤x≤0或2≤x≤4) -x2+2x，(0＜x＜2)

．
圖象如圖：

函數的減區(qū)間為[-1，0），[1，2）；
函數的增區(qū)間為[0，1），[2，4]．
（2）方程f（x）=a在區(qū)間[-1，4]上實數根，
即函數y=f（x）的圖象與函數y=a的圖象在區(qū)間[-1，4]上交點的橫坐標．
由圖象看出：a＜0或a＞8時，方程無實數根；
3＜a≤8時，方程有一個實數根；
a=0或1＜a≤3時，方程有兩個實數根；
a=1時，有三個實數根；
0＜a＜1時，方程有四個實數根．

點評：本題考查了函數圖象的作法，考查了數學轉化思想方法，訓練了利用圖象判斷根的存在性及根的個數，是中檔題．