Question

(湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)如下圖，以、為焦點(diǎn)的雙曲線E與半徑為c的圓O相交于C、D、、，連接與OB交于點(diǎn)H，且有，其中，，B是圓O與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，c為雙曲線的半焦距．

(1)當(dāng)c=1時(shí)，求雙曲線E的方程；

(2)試證：對(duì)任意正實(shí)數(shù)c，雙曲線E的離心率為常數(shù)；

(3)連接，與雙曲線E交于點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)λ，使恒成立?若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)由c=1知B(0，1)， ，即，點(diǎn)C在單位圓上，． 設(shè)雙曲線E的方程為 ． 由點(diǎn)C在雙曲線E上，半焦距c=1有解得 所以雙曲線E的方程為 ．　　　　(3分) (2)證明：， 由，得， ；設(shè)雙曲線E的方程為 ． ①代入②，化簡(jiǎn)整理得 ， ， 解得． 又． ，即雙曲線E的離心率是與c無(wú)關(guān)的常數(shù)．　　　　(8分) (3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使恒成立，． 有，點(diǎn)，故有 由③得　　　⑤ 將⑤代入④得， 化簡(jiǎn)整理得， 即，利用(2)小題的結(jié)論得． 故存在實(shí)數(shù)，使恒成立．　　　　(13分)