Question

如圖1，橢圓的下頂點為C，A，B分別在橢圓的第一象限和第二象限的弧上運動，滿足，其中O為坐標原點，現沿x軸將坐標平面折成直二面角．如圖2所示，在空間中，解答下列問題：
（1）證明：OC⊥AB；
（2）設二面角O-BC-A的平面角為α，二面角O-AC-B的平面角為β，二面角O-AB-C的平面角為θ，求證：cos²α+cos²β+cos²θ=1；
（3）求三棱錐O-ABC的體積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設知，沿x軸將坐標平面折成直二面角后，OC⊥x軸，且OC⊥y軸，所以OC⊥面AOB，由此能夠證明OC⊥AB．
（2）由，OA⊥OB，設直線OA方程為y=kx，OB的方程為y=-，解方程組，得A（，），解方程組，得B（-，），，OB=，OC=2，以O為原點，以OA為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標系，由向量法能夠證明cos²α+cos²β+cos²θ=1．
（3）由OC⊥面OAB，知三棱錐O-ABC的高OC=2，底面積S=S_△0AB==≥3，由此能求出三棱錐O-ABC的體積的最小值．
解答：（1）證明：由題設知，沿x軸將坐標平面折成直二面角后，
∵OC⊥x軸，且OC⊥y軸，
∴OC⊥面AOB，
∵AB?面AOB，
∴OC⊥AB．
（2）證明：∵，∴OA⊥OB，
∴設直線OA方程為y=kx，OB的方程為y=-，
解方程組，得A（，），（舍去x＜0的解）
解方程組，得B（-，），（舍去x＞0的解）
∵O（0，0），
∴，OB=，OC=2，
∵OC⊥面AOB，OA⊥OB，
∴以O為原點，以OA為x軸，OB為y軸，OC為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（），B（0，，0），C（0，0，2），
∴，，
設平面ABC的法向量，則有
，
∴，
∵平面OBC的法向量，
∴=，
∵平面OAC的法向量，
∴，
∵平面OAB的法向量，
∴，
∴cos²α+cos²β+cos²θ==1．
（3）解：∵OC⊥面OAB，
∴三棱錐O-ABC的高OC=2，
底面積S=S_△0AB==≥3，
當且僅當k=0時，取最小值．
∴三棱錐O-ABC的體積的最小值．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，難度大，綜合性強，易出錯．解題時巧妙地引空間直角坐標系，恰當地利用空間向量進行求解，能夠簡化運算．