Question

如圖，設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A、B，以A為圓心，OA為半徑的圓與以B為圓心，OB為半徑的圓相交于點(diǎn)O、P．
（1）若點(diǎn)P在直線上，求橢圓的離心率；
（2）在（1）的條件下，設(shè)M是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)N（0，1）到橢圓上點(diǎn)的最近距離為3，求橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)OP是圓A、圓B的公共弦，可推斷出OP⊥AB，進(jìn)而可知k_AB•k_OP=-1，進(jìn)而求得b和a的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)求得a和c關(guān)系，求得離心率．
（2）把點(diǎn)M代入橢圓方程，進(jìn)而根據(jù)（1）中a和b的關(guān)系，表示出|MN|，進(jìn)而看當(dāng)a≥4和0＜a＜4，分別求得函數(shù)取最小值時(shí)，求得a，則b可求，橢圓的方程可得．
解答：解：（1）因OP是圓A、圓B的公共弦，
所以O(shè)P⊥AB，即k_AB•k_OP=-1，
所以，又，
所以，
所以；
（2）由（1）有，
所以此時(shí)所求橢圓方程為，
設(shè)M（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，
則|MN|²=x²+（y-1）²
=，
其中-a≤y≤a，
1°若0＜a＜4時(shí)，則當(dāng)y=a時(shí)，|MN|²有最小值a²-2a+1，
由a²-2a+1=9得a=-2或a=4（都舍去）；
2°若a≥4時(shí)，則當(dāng)y=4時(shí)，|MN|²有最小值，
由得a=±4（舍去負(fù)值）即a=4；
綜上所述，所求橢圓的方程為．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．應(yīng)熟練掌握橢圓方程中，a，b和c關(guān)系，做題時(shí)才能游刃有余．