Question

無論為任何實(shí)數(shù)，直線與雙曲線恒有公共點(diǎn).
（1）求雙曲線的離心率的取值范圍；
（2）若直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，與雙曲線交于兩點(diǎn)，并且滿足，求雙曲線的方程.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）欲求雙曲線的離心率的取值范圍，只需找到， 的齊次不等式，根據(jù)直線：與雙曲線恒有公共點(diǎn)，聯(lián)立方程后，方程組必有解，成立，即可得到含，的齊次不等式，離心率的取值范圍可得．
（2）先設(shè)直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，求出，，代入，化簡，即可求出，代入
即可．
（1）聯(lián)立，得，
即
當(dāng)時，，直線與雙曲線無交點(diǎn)，矛盾
所以．所以．
因?yàn)橹本�與雙曲線恒有交點(diǎn)，恒成立
即.所以，所以，．
（2）,直線：，
，
所以
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054252578683.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，整理得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054253373452.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，所以
所以雙曲線.