Question

已知長(zhǎng)方形ABCD, AB=2, BC="1." 以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖8所示的平面直角坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線交(Ⅰ)中橢圓于M,N兩點(diǎn),是否存在直線,使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)?若存在,求出直線的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)存在過(guò)P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)

(Ⅰ)由題意可得點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為.……1分
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.……2分
則……4分
.……5分
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是……6分
(Ⅱ)由題意直線的斜率存在,可設(shè)直線的方程為.……7分
設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
聯(lián)立方程: 
消去整理得,
有……9分
若以MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn),則,所以,……10分
所以,,
即
所以,
即……11分  得……12分
所以直線的方程為,或.……13分
所以存在過(guò)P(0,2)的直線:使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn). ……14分