Question

【題目】己知函數(shù)，其中.

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)，，若存在，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒有成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后討論的正負(fù)號(hào)，即可說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)，即可說(shuō)明單調(diào)性。

（Ⅱ）題干等價(jià)于存在，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒有，記即討論的取值，判斷在的單調(diào)性，求出其最小值使成立。

解：（Ⅰ）由題，

（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，

故此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）不等式

記，，

則，

其中

由（Ⅰ）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

（1）若，則，，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，

（2）若即時(shí)，，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，

；

（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)且在內(nèi)遞減，

在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記為，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

從而，其中

，

令，，則

所以，

綜上，當(dāng)時(shí)，取到最大值為.