Question

記動點P是棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線BD₁上一點，記

D1P

D1B

=λ．當∠APC為鈍角時，則λ的取值范圍為（　　）

• A．（0，1）
• B．(

  1

  3

  ，1)
• C．(0，

  1

  3

  )
• D．（1，3）

Answer 1

分析：由∠APC不可能為平角，則∠APC為鈍角等價于∠APC為鈍角等價于

PA

•

PC

＜0，用關于λ的字母表示

PA

•

PC

＜0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算即可．

解答：解：由題設可知，以

DA

、

DC

、

DD1

為單位正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由

D1B

=（1，1，-1），得

D1P

=λ

D1B

=（λ，λ，-λ），
所以

PA

=

PD1

+

D1A

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），

PC

=

PD1

+

D1C

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
因為∠APC不是平角，
所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC=cos＜

PA

，

PC

＞=

PA • PC

| PA |•| PC |

＜0，
則等價于

PA

•

PC

＜0
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）²=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

1

3

＜λ＜1
因此，λ的取值范圍是（

1

3

，1）．
故選B．

點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．