Question

某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這3個景點的概率分別是0.4、0.5、0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響.設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.

(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)記“函數(shù)f(x)=x²-3ξx+1在區(qū)間［2,+∞)上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率.

Answer 1

(1)解：分別設(shè)“客人游覽甲景點”“客人游覽乙景點”“客人游覽丙景點”為事件A₁、A₂、A₃.由已知A₁、A₂、A₃相互獨立,P(A₁)=0.4,P(A₂)=0.5,P(A₃)=0.6.

    客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0、1、2、3,相應(yīng)地,客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3、2、1、0,所以ξ的可能取值為1、3.

    P(ξ=3)=P(A₁·A₂·A₃)+P(··)

    =P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()P()P()

    =2×0.4×0.5×0.6=0.24,

    P(ξ=1)=1-0.24=0.76.

    所以ξ的分布列為

ξ	1	3
P	0.76	0.24

    Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

(2)解法一:因為f(x)=(x-ξ)²+1-ξ²,

    所以函數(shù)f(x)=x²-3ξx+1在區(qū)間［ξ,+∞)上單調(diào)遞增.

    要使f(x)在［2,+∞)上單調(diào)遞增,

    當(dāng)且僅當(dāng)ξ≤2,即ξ≤.

    從而P(A)=P(ξ≤)=P(ξ=1)=0.76.

解法二:ξ的可能取值為1、3.

    當(dāng)ξ=1時,函數(shù)f(x)=x²-3x+1在區(qū)間［2,+∞)上單調(diào)遞增;

    當(dāng)ξ=3時,函數(shù)f(x)=x²-9x+1在區(qū)間［2,+∞)上不單調(diào)遞增.

    所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.