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        1. 某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這3個景點的概率分別為0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響,設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.
          (1)求ξ的分布;
          (2)求ξ的數(shù)學期望及方差;
          (3)記“函數(shù)f(x)=x2-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)”為事件A,求事件A的概率.
          (可能用到的數(shù)據(jù):0.762≈0.58,0.482≈0.23,1.522≈2.31,0.242≈0.06)
          分析:(1)客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0,1,2,3.相應地,客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3,2,1,0,所以ξ的可能取值為1,3.P(ξ=3)=P(A1•A2•A3)+P(
          .
          A1
          .
          A2
          .
          A3
          ),由此能求出ξ的分布列;
          (2)由(1)求出ξ的數(shù)學期望與方差;
          (3)由于函數(shù)f(x)=x2-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù),故f′(x)=2x-2ξ+
          1
          x
          ≥0
          恒成立,解得ξ≤
          2
          ,進而得到事件A的概率.
          解答:解:(1)∵ξ=1表示客人游覽了1個景點或2個景點
          ∴P(ξ=1)=1-0.4×0.5×0.6-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.76…(2分)
          ∵ξ=3表示客人游覽了0個景點或3個景點
          ∴P(ξ=3)=(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)+0.4×0.5×0.6=0.24…(5分)
          故ξ的分布為:
          ξ 1 3
          P 0.76 0.24
          (2)E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48…(8分)
          D(ξ)=(1-1.48)2×0.76+(3-1.48)2×0.24=0.23×0.76+2.31×0.24=0.7292
          …(11分)
          (3)∵函數(shù)f(x)=x2-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)
          f′(x)=2x-2ξ+
          1
          x
          ≥0

          ξ≤x+
          1
          2x
          (x>0)
          x+
          1
          2x
          2
          ξ≤
          2
          …(14分)
          P(A)=P(ξ≤
          2
          )=P(ξ=1)=0.76
          …(16分)
          點評:本題考查離散型隨機變量的期望和方差以及導數(shù)有關的不等式恒成立問題,是中檔題.解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化.
          練習冊系列答案
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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響,設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.
          (Ⅰ)求ξ的分布及數(shù)學期望;
          (Ⅱ)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•寶雞模擬)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響.
          (1)求客人游覽2個景點的概率;
          (2)設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值,求ξ的分布及數(shù)學期望.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (理科做)某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響,設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.
          (Ⅰ)求ξ的分布及數(shù)學期望;
          (Ⅱ)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (05年湖南卷理)(14分)

                 某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響,設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.

          (Ⅰ)求ξ的分布及數(shù)學期望;

          (Ⅱ)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2,+∞上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.

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