Question

【題目】對于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)對，使得等式對定義域中的任意都成立，則稱函數(shù)是“型函數(shù)”.

（1）若是“型函數(shù)”，且，求滿足條件的實(shí)數(shù)對；

（2）已知函數(shù).函數(shù)是“型函數(shù)”，對應(yīng)的實(shí)數(shù)對為，當(dāng)時(shí)，.若對任意時(shí)，都存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）解方程，，即得解；（2）等價(jià)于在上的值域是在上的值域的子集，等價(jià)于對任意，都有.再利用是“型函數(shù)”求解.

解：（1）因?yàn)?/span>是“型函數(shù)”，

所以存在實(shí)數(shù)對使得等式成立，即，

代入，可得，即，.

所以滿條件的實(shí)數(shù)對為.

（2）因?yàn)閷θ我?/span>時(shí)，都存在，使得，

所以在上的值域是在上的值域的子集.

因?yàn)?/span>，時(shí)，，

則對任意，都有.

因?yàn)?/span>是“型函數(shù)”，且對應(yīng)的實(shí)數(shù)對為，所以.

當(dāng)時(shí)，，則只需滿足對任意，

都有且成立.

即對任意，都有即可，

即不等式對任意恒成立且.

①時(shí)，，時(shí)滿足條件；

②時(shí)，，滿足條件；

③時(shí)，該不等式等價(jià)于.

時(shí)，即恒成立，；

時(shí)，即恒成立，

因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以.

綜上可得，.