Question

在矩形中，已知，，E、F為的兩個三等分點，和交于點，的外接圓為⊙．以所在直線為軸，以中點為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系．

（1）求以F、E為焦點，和所在直線為準線的橢圓的方程；

（2）求⊙的方程；

（3）設點，過點P作直線與⊙交于M，N兩點，若點M恰好是線段PN的中點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解（1）由已知，設橢圓方程為，

由于焦點的坐標為，它對應的準線方程為 ，…………………2分

所以，，于是 ，，

所以所求的橢圓方程為: ．    ……………………………………4分

 (2) 由題意可知，，，．

所以直線和直線的方程分別為:，，

        由　解得 所以點的坐標為．……………6分

      所以，，

      因為，所以，  …………………………………………8分

所以⊙的圓心為中點，半徑為，

所以⊙方程為   .………………………………………10分

(3) 設點的坐標為，則點的坐標為，

因為點均在⊙上，所以，

由②－①×4，得，

所以點在直線，………………12分

又因為點在⊙上，

所以圓心到直線的距離

 ，      ………………………………14分

即，

整理，得，即，

所以，故的取值范圍為．………16分

解法二：過作交于，

設到直線的距離，則

，

，

又因為

所以，，因為，

所以，所以，；

解法三：因為，，所以

所以，所以，．