Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+2x+alnx（a∈R），知f′(x)=

2x2+2x+a

x

，設g（x）=2x²+2x+a，由函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)函數(shù)，建立不等式，即可求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化為2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1），即2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1），令h（x）=2x-alnx（x≥1），要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函數(shù)即可，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）
∵f（x）=x²+2x+alnx
∴f′(x)=

2x2+2x+a

x

（x＞0），
設g（x）=2x²+2x+a，則g（x）=(x+

1

2

)2-

1

2

+a，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，
∴g（0）≥0，或g（1）≤0，
∴a≥0，或2+2+a≤0，
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥0，或a≤-4}．
（2）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化為2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1）
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），則問題可化為h（t²）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t²≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函數(shù)即可
即g′(x)=2-

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，同時考查學生分析解決問題的能力，有綜合性．