Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d，且a₂=3…a₅=9，數(shù)列{b_n}的前n項和為s_n，且s_n=1-

1

2

b_n（n∈N⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=

2an

bn

求證：數(shù)列{c_n}的前n項和 T_n≥3．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式求出公差，首項，利用等差數(shù)列的通項公式求出通項；通過仿寫作差，構(gòu)造新數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求出}{b_n}的通項公式．
（2）將數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式代入c_n，據(jù)它是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的乘積，所以利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和．

解答：解：（1）d=

a5- a2

3

=2，a₁=1
∴a_n=2n-1
在sn=1-

1

2

bn中，令n=1得b1=

2

3

當n≥2時，sn=1-

1

2

bn    sn-1=1-

1

2

bn-1，
兩式相減得bn=

1

2

bn-1-

1

2

bn，
∴

bn

bn-1

=

1

3

(n≥2)
bn=

2

3

(

1

3

)n-1=

2

3n

（2）cn=

2an

bn

=(2n-1)×3n，
T_n=1×3¹+3×3²+5×3³++（2n-3）×3^n-1+（2n-1）×3ⁿ，
3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴++（2n-3）×3ⁿ+（2n-1）×3ⁿ⁺¹，
-2T_n=3+2（3²+3³++3ⁿ）-（2n-1）×3ⁿ⁺¹=3+2×

9(1-3n-1)

1-3

-(2n-1)×3n+1
∴T_n=3+3ⁿ⁺¹×（n-1）
∵n∈N⁺∴T_n≥3

點評：求數(shù)列的前n項和時，常采用求出數(shù)列的通項，利用通項的特點，選擇合適的求和方法．