Question

設(shè)x、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，則log 3(

1

a

+

2

b

)的最小值為

1

．

Answer 1

分析：作出x、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的圖象，由圖象判斷同最優(yōu)解，令目標(biāo)函數(shù)值為6，解出a，b的方程，再由基本不等式求出

1

a

+

2

b

的最小值，代入求解即可

解答：解：由題意、y滿足約束條件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的圖象如圖
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6
從圖象上知，最優(yōu)解是（2，4）
故有2a+4b=6
∴

1

a

+

2

b

=

1

6

（2a+4b）(

1

a

+

2

b

)=

1

6

（10+

4b

a

+

4a

b

）≥

1

6

×（10+2

4b a × 4a b

）=3，等號當(dāng)且僅當(dāng)

4b

a

=

4a

b

時(shí)成立
故log 3(

1

a

+

2

b

)的最小值為log₃3=1
故答案為1

點(diǎn)評：本題考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用及不等式的應(yīng)用，解決本題，關(guān)鍵是根據(jù)線性規(guī)劃的知識判斷出取最值時(shí)的位置，即最優(yōu)解，由此得到參數(shù)的方程，再構(gòu)造出積為定值的形式求出真數(shù)的最小值．