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          選做題(1)設x是正數,求證:(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3;

          (2)若x∈R,不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3是否仍然成立?如果仍成立,請給出證明;如果不成立,請舉出一個使它不成立的x的值.

          簡證:(1)∵x>0,∴1+x≥2>0,1+x2≥2x>0,1+x3≥2x>0,三個同向正值不等式相乘得(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3.

          簡解:(2)x∈R時原不等式仍然成立.

          思路1:分類討論x=0、-1<x<0、x=-1、x<-1證明;

          思路2:左邊=(1+x)2(1+x2)[(x)2+]≥0.

          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數學 來源: 題型:

          (選做題)本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在答題卡指定區(qū)域內作答,若多做,則按作答的前兩題評分,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
          A.[選修4-1:幾何證明選講]
          已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圓劣弧AC上的點(不與點A,C重合),延長BD至點E.
          求證:AD的延長線平分∠CDE
          B.[選修4-2:矩陣與變換]
          已知矩陣A=
          12
          -14

          (1)求A的逆矩陣A-1
          (2)求A的特征值和特征向量.
          C.[選修4-4:坐標系與參數方程]
          已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ,以極點為原點,極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數方程為
          x=
          1
          2
          t
          y=
          3
          2
          t+1
          (t為參數),求直線l被曲線C截得的線段長度.
          D.[選修4-5,不等式選講](本小題滿分10分)
          設a,b,c均為正實數,求證:
          1
          2a
          +
          1
          2b
          +
          1
          2c
          1
          b+c
          +
          1
          c+a
          +
          1
          a+b

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答題紙指定區(qū)域內 作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
          A.如圖,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3,過C作圓的切線l,過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點D、E.求∠DAC的度數與線段AE的長.
          B.已知二階矩陣A=
          2a
          b0
          屬于特征值-1的一個特征向量為
          1
          -3
          ,求矩陣A的逆矩陣.

          C.已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點,極軸與x軸的正半軸重合,曲線C的極坐標方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直線l的參數方程為
          x=-
          3
          t
          y=1+t
          (t為參數,t∈{R}).試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值.
          D.(1)設x是正數,求證:(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3
          (2)若x∈R,不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3是否仍然成立?如果仍成立,請給出證明;如果不成立,請舉出一個使它不成立的x的值.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          【選做題】在A,B,C,D四小題中只能選做2題,每題10分,共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內作答,解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
          21-1.(選修4-2:矩陣與變換)
          設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍,縱坐標伸長到3倍的伸壓變換.
          (1)求矩陣M的特征值及相應的特征向量;
          (2)求逆矩陣M-1以及橢圓
          x2
          4
          +
          y2
          9
          =1在M-1的作用下的新曲線的方程.
          21-2.(選修4-4:參數方程)
          以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸.已知點P的直角坐標為(1,-5),點M的極坐標為(4,
          π
          2
          ),若直線l過點P,且傾斜角為 
          π
          3
          ,圓C以M為圓心、4為半徑.
          (1)求直線l關于t的參數方程和圓C的極坐標方程;
          (2)試判定直線l和圓C的位置關系.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分.)
          A.設函數f(x)=|2x+1|-|x-4|.則不等式f(x)>2的解集為
          {x|x<-7或x>
          5
          3
          }
          {x|x<-7或x>
          5
          3
          }
          ;
          B.(坐標系與參數方程選做題)曲線C:
          x=-2+2cosα
          y=2sinα
          (α為參數),若以點O(0,0)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,則該曲線的極坐標方程是
          ρ=-4cosθ
          ρ=-4cosθ


          C.(幾何證明選講選做題) 如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,E為⊙O上一點,弧AE=弧AC,DE交AB于F,且AB=2BP=4,則PF=
          3
          3

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          科目:高中數學 來源:2012-2013學年江蘇省鹽城中學高三(上)12月月考數學試卷(解析版) 題型:解答題

          在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.請在答題紙指定區(qū)域內 作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
          A.如圖,圓O的直徑AB=6,C為圓周上一點,BC=3,過C作圓的切線l,過A作l的垂線AD,AD分別與直線l、圓交于點D、E.求∠DAC的度數與線段AE的長.
          B.已知二階矩陣屬于特征值-1的一個特征向量為,求矩陣A的逆矩陣.

          C.已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點,極軸與x軸的正半軸重合,曲線C的極坐標方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直線l的參數方程為(t為參數,t∈{R}).試求曲線C上點M到直線l的距離的最大值.
          D.(1)設x是正數,求證:(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3;
          (2)若x∈R,不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3是否仍然成立?如果仍成立,請給出證明;如果不成立,請舉出一個使它不成立的x的值.

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