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        1. (2012•眉山二模)已知f(x)=ax3+bx2+cx+d是定義在R上的函數(shù),它在[-1,0]和[4,5]上有相同的單調(diào)性,在[0,2]和[4,5]上有相反的單調(diào)性.
          (Ⅰ)求c的值;
          (Ⅱ)在函數(shù)f(x)的圖象上是否存在點M(x0,y0),使得f(x)在點M的切線斜率為3b?若存在,求出M點的坐標,若不存在,則說明理由;
          (Ⅲ)設(shè)f(x)的圖象交x軸于A、B、C三點,且B的坐標為(2,0),求線段AC的長度|AC|的取值范圍.
          分析:(1)利用函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間判斷出x=0是函數(shù)的極值點,利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0,列出方程求出c的值.
          (2)將c的值代入導函數(shù),令導函數(shù)為0求出方程的兩個根即兩個極值點,據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,判斷出根 -
          2b
          3a
          與區(qū)間端點的關(guān)系,列出不等式組求出
          b
          a
          的范圍.假設(shè)存在,根據(jù)導數(shù)的幾何意義,列出方程,通過判斷判別式的符號得到結(jié)論.
          (3)設(shè)出f(x)的三個零點,寫出f(x)的利用三個根不是的解析式,將x=2代入,利用韋達定理求出A,C的距離,據(jù)(2)求出|AC|的最值.
          解答:解:(1)由條件可知f(x)在區(qū)間[-1,0]和[0,2]上有相反的單調(diào)性,
          ∴x=0是f(x)的一個極值點,
          ∴f′(0)=0
          而f′(x)=3ax2+2bx+c,
          故c=0.
          (2)令f′(x)=0,則3ax2+2bx=0,
          解得 x1=0,x2=-
          2b
          3a

          又f(x)在區(qū)間[0,2]和[4,5]上有相反的單調(diào)性,
          -
          2b
          3a
          ≥2
          -
          2b
          3a
          ≤4
          解得 -6≤
          b
          a
          ≤-3

          假設(shè)存在點M(x0,y0),使得f(x)在點M處的切線斜率為3b,則f'(x0)=3b 即3a
          x
          2
          0
          +2bx0-3b=0所以△=4ab(
          b
          a
          +9)

          -6≤
          b
          a
          ≤-3∴ab<0,
          b
          a
          +9>0
          ,∴△<0,x0無解
          故不存在點M(x0,y0),使得f(x)在點M處的切線斜率為3b
          (3)設(shè)A(α,0),C(β,0),
          則由題意可令f(x)=a(x-α)(x-2)(x-β)=a[x3-(2+α+β)x2+(2α+2β+αβ)x-2αβ]…(2分)
          b=-a(2+α+β)
          d=-2aαβ
          ,解得
          α+β=-
          b
          a
          -2
          αβ=-
          d
          2a

          又∵函數(shù)f(x)的圖象交x軸于B(2,0),
          ∴f(2)=0即8a+4b+d=0
          ∴d=-4(b+2a),
          αβ=4+
          2b
          a

          從而 |AC|=|α-β|=
          (α+β)2-4αβ
          =
          (
          b
          a
          -2)
          2
          -16

          -6≤
          b
          a
          ≤-3

          ∴當
          b
          a
          =-6
          時,|AC|max=4
          3
          ;當
          b
          a
          =-3
          時,|AC|min=3.
          所以3≤|AC|≤4
          3
          點評:本題考查極值點處的函數(shù)值為0,極值點左右兩邊的導函數(shù)符號相反;解決二次方程的根的問題常用到韋達定理.
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          x2
          a2
          -
          y2
          b2
          =1的一個焦點與拋物線x=
          1
          4
          y2的焦點重合,且雙曲線的離心率等于
          5
          ,則該雙曲線的方程為
          5x2-
          5
          4
          y2=1
          5x2-
          5
          4
          y2=1

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          (2012•眉山二模)(
          x
          +
          2
          x2
          )
          n
          展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項等于
          180
          180

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•眉山二模)計算(log318-log32)×(
          8
          125
          )
          1
          3
          =( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•眉山二模)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)2+blnx,其中b為常數(shù).
          (1)當b>
          1
          2
          時,判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性;
          (2)當b≤0時,求f(x)的極值點并判斷是極大值還是極小值;
          (3)求證對任意不小于3的正整數(shù)n,不等式
          1
          n2
          <ln(n+1)-lnn<
          1
          n
          都成立.

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