Question

【題目】某企業(yè)擬生產(chǎn)一種如圖所示的圓柱形易拉罐（上下底面及側(cè)面的厚度不計），易拉罐的體積為,設(shè)圓柱的高度為，底面半徑為，且,假設(shè)該易拉罐的制造費用僅與其表面積有關(guān)．已知易拉罐側(cè)面制造費用為元，易拉罐上下底面的制造費用均為元為常數(shù))．

（1）寫出易拉罐的制造費用(元)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求其定義域；

（2）求易拉罐制造費用最低時的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當(dāng)時， ，易拉罐的制造費用最低，當(dāng)時，，易拉罐的制造費用最低.

【解析】

（1）根據(jù)體積的值，得出與的關(guān)系，然后將表面積公式中的轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)等條件得出定義域；

（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.

解：（1）因為體積為

故，即，

易拉罐的側(cè)面積為，

易拉罐的上下兩底面的面積為，

所以,

因為，

所以有，解得，

故，

易拉罐的制造費用為；

（2），

令，解得，

若，即，此時

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)，此時函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；

若，即，此時，

當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，

故當(dāng)，此時函數(shù)取得最小值，即易拉罐的制造費用最低；

綜上：當(dāng)時， ，易拉罐的制造費用最低，

當(dāng)時，，易拉罐的制造費用最低.