Question

在△ABC中，A=30°，BC=2

5

，D是AB邊上的一點(diǎn)，CD=2，△BCD的面積為4，則AC的長(zhǎng)為

4或2

2

．

Answer 1

分析：由△BCD的面積為4，求得sin∠BCD 的值，進(jìn)而求得cos∠BCD 的值，△BCD中，由余弦定理可得BD 的值，△BCD中，由正弦定理求得sinB 的值．再在△ABC中，由正弦定理求得AC的長(zhǎng)．

解答：解：由題意可得

1

2

CB•CD•sin∠BCD=4，即

1

2

×2

5

×2 sin∠BCD=4，解得 sin∠BCD=

2

5

．
①當(dāng)∠BCD 為銳角時(shí)，cos∠BCD=

1

5

．
△BCD中，由余弦定理可得 BD=

CB2+CD2-2•CB•CD•cos∠BCD

=4．
△BCD中，由正弦定理可得

BD

sin∠BCD

 =

CD

sinB

，即

4

2 5

= 

2

sinB

，故 sinB=

1

5

．
在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sinB

= 

BC

sinA

，即 

AC

1 5

=

2 5

1 2

，解得 AC=4．
②當(dāng)∠BCD 為鈍角時(shí)，cos∠BCD=-

1

5

．
△BCD中，由余弦定理可得 BD=

CB2+CD2-2•CB•CD•cos∠BCD

=4

2

．

△BCD中，由正弦定理可得

BD

sin∠BCD

 =

CD

sinB

，即 

4 2

2 5

=

2

sinB

，故 sinB=

1

10

．
在△ABC中，由正弦定理可得

AC

sinB

= 

BC

sinA

，即 

AC

1 10

=

2 5

1 2

，解得 AC=2

2

．
綜上可得 AC=4或2

2

，
故答案為  4或2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，判斷三角形的形狀的方法，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，討論∠BCD 為銳角和鈍角兩種情況，是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，是一個(gè)中檔題目．