Question

如圖，正四棱錐中P-ABCD，點E，F(xiàn)分別在棱PA，BC上，且AE=2PE，
（1）問點F在何處時，EF⊥AD？
（2）當EF⊥AD且正三角形PAB的邊長為a時，求點F到平面PAB的距離；
（3）在第（2）條件下，求二面角C-PA-B的大小．

Answer 1

分析：本題利用空間直角坐標系，求出相關向量，利用數(shù)量積和距離公式解答．
（1）先作PO⊥平面ABCD，依題意O是正方形ABCD的中心，如圖建立空間坐標系．
設AB=a，PO=b，寫出點的坐標：E(

2

6

a，0，

2

3

b)，F(xiàn)(m，

2

2

a+m，0)，利用向量的數(shù)量積即可證得EF⊥AD；
（2）設點F到平面PAB的距離為d．先求得面PAB的法向量，再結合向量的數(shù)量積即可求出點F到平面PAB的距離；
（3）設二面角C-AP-B的平面角為θ，先求出平面PAB的法向量為

n

=(1，1，1)和平面PAC的法向量，最后利用夾角公式即可求得二面角C-PA-B的大�。�

解答：解：（1）作PO⊥平面ABCD，依題意O是正方形ABCD的中心，如圖建立空間坐標系．
設AB=a，PO=b，E(

2

6

a，0，

2

3

b)，F(xiàn)(m，

2

2

a+m，0)．（2分）

AD

=(-

2

2

a，-

2

2

a，0)，

EF

=(m-

2

6

a，

2

2

a+m，-

2

3

b).

AD

•

EF

=0?m-

2

6

a+

2

2

a+m=0?m=-

2

6

a．
∴當F為BC的三等分點（靠近B）時，有EF⊥AD..（4分）
（2）設點F到平面PAB的距離為d.P(0，0，

2

2

a)，A(

2

2

a，0，0)，F(-

2

6

a，

2

3

a，0)

FB

=(

2

6

a，

2

6

a，0)

PA

=(

2

2

a，0，-

2

2

a)，

AB

=(-

2

2

a，

2

2

a，0)，設面PAB的法向量為

n

=(x，y，z)
∴

2 2 ax- 2 2 az=0 - 2 2 ax+ 2 2 ay=0

?

n

=(1，1，1)，（6分）
∴d=

n • FB

| n|

=

2 3 a

3

=

6

9

a．（8分）
（3）設二面角C-AP-B的平面角為θ，平面PAB的法向量為

n

=(1，1，1)．
設平面PAC的法向量為

n2

=(x，y，z)，∴

n1

=

OB

=(0，

2

2

a，0)．（10分）
∴cosθ=

n • n1

| n || n1 |

=

2 2 a

3 × 2 2 a

=

3

3

．∴θ=arccos

3

3

．（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直，二面角，點的平面的距離，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．