Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】

（1）先求導(dǎo)得到，令，原命題等價于 在內(nèi)或恒成立，再分兩種情況討論得解；（2）先求出函數(shù)的最值，再對分三種情況討論得解.

（1），

令，要使在其定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，只需在內(nèi)，滿足或恒成立，

當且僅當時，，時，，

因為，所以當且僅當時，，時，，

因為在內(nèi)有，當且僅當即時取等號，

所以當時，，，此時在單調(diào)遞增，

當時，，，此時在單調(diào)遞減，

綜上，的取值范圍為或.

（2）因為在上是減函數(shù)，

所以時，；時，，即，

①當時，由（1）知在上遞減，所以，不合題意，

②當時，由，

由（1）知當時，在上單調(diào)遞增，

所以，不合題意，

③當時，，，

由題意可得，只需時，，即可，

由（1）知在上是增函數(shù)，，

又在上是增函數(shù)，則，，

而，，

只需，解得，

綜上的取值范圍是.