Question

變量x、y滿足
(1)設(shè)z＝，求z的最小值；
(2)設(shè)z＝x²＋y²，求z的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析： 由題意畫出可行域，分別求出可行域各頂點(diǎn)、、坐標(biāo).（1）將所求目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為，此時(shí)可以看作是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連成直線的斜率的最小值，由于可行域范圍在第一象限內(nèi)，所以可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線中傾斜角最小的為，故，再由頂點(diǎn)坐標(biāo)可求出的最小值；（2）將目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造為，此時(shí)可以看作是可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的范圍，經(jīng)查驗(yàn)比較可得，，通過計(jì)算、的值可以求出所求的取值范圍.提示：在解決此類線性規(guī)劃問題中，常常把目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造出斜截式的直線方程、過原點(diǎn)直線的斜率、與某一定點(diǎn)間的距離等等，再通過求截距、斜率、距離來求出目標(biāo)函數(shù)的值.
試題解析：由約束條件，作出可行域如圖所示.
    3分
由，解得
由，解得
由，解得.      6分
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031115032651.png" style="vertical-align:middle;" />，所以的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率.
觀察圖形可知        9分
（2）的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，
結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，，，
所以所求的取值范圍為.