Question

已知直線l₁：2x-y+6=0與y軸交于C點(diǎn)，直線l₂與x軸交于點(diǎn)A（8，0），l₁與l₂交于B點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C、O四點(diǎn)共圓，則直線l₂的方程為

x+2y-8=0

，圓的方程為

（x-4）²+（y-3）²=25

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，由A、B、C、O四點(diǎn)共圓，可得對(duì)角互補(bǔ)，再根據(jù)x軸與y軸垂直，得到∠AOC為直角，進(jìn)而確定出∠ABC為直角，即兩直線垂直，由直線l₁的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，求出直線l₂斜率，再由直線l₂過A點(diǎn)，由A的坐標(biāo)和求出的斜率，寫出直線l₂的方程即可；同時(shí)根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑可得AC為四點(diǎn)確定圓的直徑，由A和C的坐標(biāo)，利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)，即為圓心坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|AC|的長，即為圓的直徑，求出圓的半徑，根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．

解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
∵A、B、C、O四點(diǎn)共圓，
∴∠COA+∠ABC=180°，又∠COA=90°，
∴∠ABC=90°，即l₁⊥l₂，
∵直線l₁的斜率為2，∴直線l₂的斜率為-

1

2

，
又直線l₂與x軸交于點(diǎn)A（8，0），
∴直線l₂的方程為：y=-

1

2

（x-8），即x+2y-8=0，
又∠AOC為弦AC所對(duì)的圓周角，且∠AOC=90°，
∴AC為圓的直徑，設(shè)D為AC的中點(diǎn)，即為圓心，
∵C（0，6），A（8，0），
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（

0+8

2

，

6+0

2

），即（4，3），
又|AC|=

(0-8)2+(6-0)2

=10，
∴圓的半徑為5，
則所求圓的方程為（x-4）²+（y-3）²=25．
故答案為：x+2y-8=0；（x-4）²+（y-3）²=25

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線的一般式方程，以及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，涉及的知識(shí)有：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，兩直線垂直斜率滿足的關(guān)系，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，其中根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到兩直線垂直是解本題的關(guān)鍵．