Question

（2008•普陀區(qū)一模）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在橢圓

x2

16

+

y2

12

=1的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)．當(dāng)

MP

的模最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程可得-4≤x≤4．由

MP

=(x-m，y)，結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)可得|

MP

|2=

1

4

(x-4m)2+12-3m2，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及橢圓的性質(zhì)可知，|

MP

|2取得最小值4m≥4，結(jié)合點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，可求m得范圍

解答：解：設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1，故-4≤x≤4．
因?yàn)?span id="ti9udbf" class="MathJye">

MP

=(x-m，y)，所以|

MP

|2=(x-m)2+y2=(x-m)2+12×(1-

x2

16

)
推出|

MP

|2=

1

4

x2-2mx+m2+12=

1

4

(x-4m)2+12-3m2．
依題意可知，當(dāng)x=4時(shí)，|

MP

|2取得最小值．而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1．
又點(diǎn)M在橢圓的長(zhǎng)軸上，即-4≤m≤4．故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈[1，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，解題中要注意橢圓的范圍與二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．