Question

已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C₂：的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x²+y²=1上．
（1）求拋物線C₁和橢圓C₂的標準方程；
（2）過點F的直線交拋物線C₁于A、B兩不同點，交y軸于點N，已知，求證：λ₁+λ₂為定值．
（3）直線l交橢圓C₂于P、Q兩不同點，P、Q在x軸的射影分別為P'、Q'，，若點S滿足：，證明：點S在橢圓C₂上．

Answer 1

（1）解：由C₁：y²=2px（p＞0）焦點F（，0）在圓O：x²+y²=1上得：，
∴p=2
∴拋物線C₁：y²=4x
同理由橢圓C₂：的上、下焦點（0，c），（0，﹣c）及左、右頂點（﹣b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，a=
∴橢圓C₂：
（2）證明：設直線AB的方程為y=k（x﹣1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則N（0，﹣k）直線與拋物線聯(lián)立，消元可得
k²x²﹣（2k²+4）x+k²=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=1
∵
∴λ₁（1﹣x₁）=x₁，λ₂（1﹣x₂）=x₂
∴，
∴λ₁+λ₂=為定值；
（3）證明：設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），則P'（x₃，0），Q'（x₄，0），
∵，
∴S（x₃+x₄，y₃+y₄）
∵
∴2x₃x₄+y₃y₄=﹣1①
∵P，Q在橢圓上，
∴②，
③
由①+②+③得（x₃+x₄）²+=1
∴點S在橢圓C₂上