Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx，且f′（-1）=0。
（1）試用含a的代數(shù)式表示b，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）令a=-1，設(shè)函數(shù)f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點(diǎn)M （x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），P（m，f（m）），x₁＜m＜x₂，請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線f（x）在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問題：
（i）若對(duì)任意的t∈（x₁，x₂），線段MP與曲線f（x）均有異于M，P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；
（ii）若存在點(diǎn)Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得線段PQ與曲線f（x）有異于P、Q的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）。

Answer 1

解：（1）依題意，得
由得
從而
故
令得或
①當(dāng)a>1時(shí)，
當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：

由此得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有恒成立，且僅在處，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
③當(dāng)時(shí)，，同理可得，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為和，
單調(diào)減區(qū)間為
綜上：當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為。
（2）（i）由得
令得
由（1）得f（x）增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，
所以函數(shù)f（x）在處取得極值，
故M（），N（）。
觀察的圖象，有如下現(xiàn)象：
①當(dāng)m從-1（不含-1）變化到3時(shí)，線段MP的斜率與曲線f（x）在點(diǎn)P處切線的斜率之差K_mp-的值由正連續(xù)變?yōu)樨?fù)。
②線段MP與曲線是否有異于H，P的公共點(diǎn)與K_mp-的m正負(fù)有著密切的關(guān)聯(lián)；
③K_mp-=0對(duì)應(yīng)的位置可能是臨界點(diǎn)，故推測(cè)：滿足K_mp-的m就是所求的t最小值。
下面給出證明并確定的t最小值
曲線f（x）在點(diǎn)處的切線斜率

段MP的斜率K_mp
當(dāng)K_mp-=0時(shí)，解得
直線MP的方程為
令
當(dāng)時(shí)，在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
可判斷函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，
所以g（x）在上沒有零點(diǎn)，
即線段MP與曲線f（x）沒有異于M，P的公共點(diǎn)。
當(dāng)時(shí)，，
所以存在使得
即當(dāng)時(shí)，MP與曲線f（x）有異于M，P的公共點(diǎn)
綜上，t的最小值為2。
（ii）類似（i）于中的觀察，可得m的取值范圍為。