Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+cos²

x

3

-

3

2

．
（1）將f（x）寫成f（x）=Asin（ωx+ψ）的形式，并求函數(shù)f（x）圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；
（2）如果△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，試求角x的范圍及此時(shí)函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)的對稱中心、對稱軸方程求解即可；
（2）通過b²=ac，利用余弦定理求出cosx的范圍，然后求出x的范圍，求出

2

3

x+

π

3

的范圍，利用 f（x）=sin（

2

3

x+

π

3

）求出f（x）的最大值．

解答：解：f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos2

x

3

-

3

2

=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

-

3

2

=sin（

2x

3

+

π

3

）
令sin（

2x

3

+

π

3

）=0，?

2x

3

+

π

3

=π，解得：x=

3π

2

-

π

2

（k∈Z），

（2）cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

，
即cosx≥

1

2

，而x∈（0，π），所以x∈（0，

π

3

]，
又

2x

3

+

π

3

∈（

π

3

，

8π

9

]，sin（

2x

3

+

π

3

）∈[sin

8π

9

，1]，
所以f（x）的最大值為1．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的最值和正弦函數(shù)的對稱性等知識點(diǎn)，熟練掌握三角函數(shù)的化簡求值，余弦定理的應(yīng)用，正弦函數(shù)的值域的求法，考查計(jì)算能力．