Question

已知函數(shù)f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（

π

4

），f′（x）是f（x）的導函數(shù)，則過曲線y=x³上一點P（a，b）的切線方程為

3x-y-2=0

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導函數(shù)，把x=

π

4

代入導函數(shù)即可求出a的值，然后由曲線的方程求出曲線的導函數(shù)，把x=1代入導函數(shù)即可求出切線的斜率，把x=1代入曲線方程中即可求出切點的縱坐標，進而得到切點的坐標，根據(jù)切點坐標和求出的斜率寫出切線方程即可．

解答：解：由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3-2sin2x+2cos2x，
且由y=x³，得到y(tǒng)′=3x²，
則a=f′(

π

4

)=3-2sin

π

2

+2cos

π

2

=1，
把x=1代入y′=3x²中，解得切線斜率k=3，
且把x=1代入y=x³中，解得y=1，所以切點P的坐標為（1，1），
所以由點斜式得，曲線上過P的切線方程為：y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
故答案為：3x-y-2=0．

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會根據(jù)一點和斜率寫出直線的方程，是一道中檔題．