Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+-1（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)0≤a＜時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值，確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a=-1時(shí)，，
由f'（x）＞0，解得x＞1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
由f'（x）＜0，解得0＜x＜1，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1]．
（2）因?yàn)閒（x）=lnx-ax+-1（a∈R）．
所以，
令g（x）=ax²-x+1-a，（x＞0），
①若a=0，g（x）=-x+1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
②若0時(shí)，由f'（x）=0，解得，
此時(shí)，所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)x∈（1，）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f'（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f'（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞）．
當(dāng)0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1）和[），單調(diào)增區(qū)間是[1，]．
點(diǎn)評：本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的單調(diào)性問題，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)．