Question

已知A、D分別為橢圓E：=1（a＞b＞0）的左頂點與上頂點，橢圓的離心率e=，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點，點P是線段AD上的任一點，且的最大值為1．
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標原點），若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．
（3）設直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，且l與橢圓E有且僅有一個公共點B₁，當R為何值時，|A₁B₁|取最大值？并求最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），則•=x²+y²-c²，P在AD上，x²+y²看作線段AD上的點P（x，y）到原點距離的平方，所以P在A點，x²+y²最大，a²-c²=1，由此能求出橢圓方程1．
（2）由橢圓方程為+y²=1，設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．解方程組得（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，要使切線與橢圓恒有兩個交點A，B，則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0．由此能求出存在圓心在原點的圓x²+y²=，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．
（3）設直線l的方程為y=mx+n，因為直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，由R=，知n²=R²（1+m²），因為l與橢圓只有一個公共點B₁，所以，即（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解．由此入手能夠導出當R=∈（1，2）時|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．
解答：解：（1）設P（x，y），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c²=a²-b²，c＞0
則=（-c-x，-y），=（c-x，-y）∴•=x²+y²-c²
∵P在AD上，x²+y²看作線段AD上的點P（x，y）到原點距離的平方，
∴P在A點，x²+y²最大，∴a²-c²=1，
又e==，∴a²=4，b²=1，c²=3，橢圓方程+y²=1．
（2）由（1）知橢圓方程為+y²=1，
①設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
解方程組得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k）²x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切線與橢圓恒有兩個交點A，B，則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，且，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=-+t²=，
要使⊥，需使x₁x₂+y₁y₂=0，即+==0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，即4k²+4＜20k²+5恒成立．
又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=，r²===，所求的圓為x²+y²=．
②當切線的斜率不存在時，切線為x=±，與+y²=1交于點（，±）或（-，±）滿足．
綜上，存在圓心在原點的圓x²+y²=．，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B．

（3）設直線l的方程為y=mx+n，因為直線l與圓C：x²+y²=R²（1＜R＜2）相切于A₁，
由（2）知R=，即n²=R²（1+m²）①，因為l與橢圓只有一個公共點B₁，
由（2）知得x²+4（mx+n）²=4，即（1+4m²）x²+8mx+4n²-4=0有唯一解，
則△=64m²n²-16（1+4m²）（n²-1）=16（4m²-n²+1）=0，即4m²-n²+1=0，②
由①②得此時A，B重合為B₁（x₁，y₁）點，由中x₁=x₂，所以x₁²==，B₁（x₁，y₁）點在橢圓上，所以y₁²=1-x₁²=
|OB₁|²=x₁²+y₁²=5-，在直角三角形OA₁B₁中，|A₁B₁|²=|OB₁|²-|OA₁|²=5--R²=5-（+R²）
因為（+R²）≥4當且僅當R=∈（1，2）時取等號，所以|A₁B₁|²≤5-4=1
即當R=∈（1，2）時|A₁B₁|取得最大值，最大值為1．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱條件，靈活運用橢圓性質，合理地進行等價轉化．