Question

如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，A，C分別是雙曲線虛軸的上、下頂點(diǎn)，B是雙曲線的左頂點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線AB與FC相交于點(diǎn)D．若雙曲線的離心率為2，則∠BDF的余弦值是（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求出直線方程，求出三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用余弦定理求得cos∠BDF 的值．
解答：解：由題意得A（0，b），C（0，-b），B（-a，0），F(xiàn)（-c，0），=2．
∴BF=c-a=a，BD 的方程為 ，即  bx-ay+ab=0，
DC的方程為  ，即 bx+cy+bc=0，即 bx+2ay+2ab=0，
由 得 D （-，-），又 b== a，
∴FD==，BD==，
三角形BDF中，由余弦定理得 cos∠BDF，
∴cos∠BDF=，
故選 C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查求直線方程，求兩直線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，余弦定理，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．