Question

如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)．又已知該雙曲線的離心率．

（1）求證：，，依次成等差數(shù)列；

（2）若F(，0)，求直線AB在雙曲線上所截得的弦CD的長(zhǎng)度．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由已知e2＝，即＝，故a2＝c2，          ①

從而b2＝c2－a2＝c2，                         ②

故＝＝，設(shè)∠AOF＝∠BOF＝，＝．

故tan∠AOB＝tan2＝＝，即＝．

令＝3m(m＞0) ，則＝4m，＝5m，滿足＋＝2，

所以，，，依次成等差數(shù)列．

（2）由已知c2＝5，代入①，②得a2＝4， b2＝1，

于是雙曲線的方程為．

設(shè)直線AB的斜率為k，則k＝tan∠BFx＝tan∠AFO＝cot＝2．

于是直線AB的議程為 y＝2(x－)．…………………………………………9分

聯(lián)立 消y得15x2－x＋84＝0．

故弦CD的長(zhǎng)度 | CD |＝＝×＝…13分 

【解析】略