Question

若函數(shù)f(x)＝ax³－bx＋4，當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)有極值－.

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：由題意可知f′(x)＝3ax²－b，

(1)于是解得

故所求的解析式為f(x)＝x³－4x＋4.

(2)由(1)可知f′(x)＝x²－4＝(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－2.

當(dāng)x變化時(shí)f′(x)、f(x)的變化情況如下表所示：

x	(－∞，－2)	－2	(－2,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	單調(diào)遞增		單調(diào)遞減	－	單調(diào)遞增

因此，當(dāng)x＝－2時(shí)，f(x)有極大值；

當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)有極小值－.

所以函數(shù)的大致圖象如圖．

故實(shí)數(shù)k的取值范圍是－＜k＜.