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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				在△ABC中，點(diǎn)G為中線AD上一點(diǎn)，且AG=
          12
          AD過點(diǎn)G的直線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE=mAB，AF=nAC，則m+3n的最小值為
           
          ．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：如圖所示，利用向量的運(yùn)算法則可得
          MG
          =
          AG
          -
          AM
          =(
          1
          4
          -m)
          AB
          +
          1
          4
          AC
          ．
          NG
          =
          AG
          -
          AN
          =
          1
          4
          AB
          +(
          1
          4
          -n)
          AC
          ．再利用向量共線定理可得，存在實(shí)數(shù)t使得
          MG
          =t
          NG
          ，利用向量相等即可得出：
          1
          m
          +
          1
          n
          =4          ．再利用基本不等式即可得出m+3n的最小值．
          解答：解：如圖所示，精英家教網(wǎng)
          MG
          =
          AG
          -
          AM
          =
          1
          2
          AD
          -m
          AB
          =
          1
          2
          ×
          1
          2
          (
          AB
          +
          AC
          )-m
          AB
          =(
          1
          4
          -m)
          AB
          +
          1
          4
          AC
          ．
          NG
          =
          AG
          -
          AN
          =
          1
          2
          AD
          -n
          AC
          =
          1
          2
          ×
          1
          2
          (
          AB
          +
          AC
          )-n
          AC
          =
          1
          4
          AB
          +(
          1
          4
          -n)
          AC
          ．
          ∵
          MG
          與
          NG
          共線，∴存在實(shí)數(shù)t，使得
          MG
          =t
          NG
          ，
          ∴(
          1
          4
          -m)
          AB
          +
          1
          4
          AC
          =t[
          1
          4
          AB
          +(
          1
          4
          -n)
          AC
          ]          ，
          ∴
          1
          4
          -m=
          1
          4
          t          ，
          1
          4
          =t(
          1
          4
          -n)          ，
          消去t可得：
          1
          m
          +
          1
          n
          =4          ．
          ∵m＞0，n＞0，
          ∴m+3n=
          1
          4
          (
          1
          m
          +
          1
          n
          )(m+3n)          =
          1
          4
          (4+
          m
          n
          +
          3n
          m
          )          ≥
          1
          4
          (4+2
          m
          n
          •
          3n
          m
          )          =2+
          		3
          2
          ，
          當(dāng)且僅當(dāng)m=
          		3
          n          =
          		3
          +1
          4
          時(shí)取等號(hào)．
          因此m+3n的最小值為
          		3
          2
          +1．
          故答案為：
          		3
          2
          +1．
          點(diǎn)評：本題綜合考查了向量的運(yùn)算法則、向量共線定理、向量相等、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          選考題
          請從下列三道題當(dāng)中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，請?jiān)诖痤}卷上注明題號(hào)．
          22-1設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|
          （1）解不等式f（x）≤5x+1；
          （2）若g(x)=
          1
          		f(x)+m
          定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
          22-2如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓交BC于E，AB=2AC，
          （1）求證：BE=2AD；
          （2）當(dāng)AC=1，BC=2時(shí)，求AD的長．
          22-3已知P為半圓C：
          x=cosθ
          y=sinθ
          (θ為參數(shù)，0≤θ≤π)          上的點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M在射線OP上，線段OM與半圓C上的弧AP的長度均為
          π
          3

          （1）求以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；
          （2）求直線AM的參數(shù)方程．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          在△ABC中，點(diǎn)B（0，1），直線AD：2x-y-4=0是角A的平分線．直線CE：x-2y-6=0是AB邊的中線．
          （1）求邊AC的直線方程；
          （2）圓M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自點(diǎn)C向圓M引切線CF，CG，切點(diǎn)為F、G．求：
          CF
          •
          CG
          的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：江蘇期中題
				題型：解答題
			
          

						
          在△ABC中，點(diǎn)B（0，1），直線AD：2x﹣y﹣4=0是角A的平分線．直線CE：x﹣2y﹣6=0是AB邊的中線．
          （1）求邊AC的直線方程；
          （2）圓M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自點(diǎn)C向圓M引切線CF，CG，切點(diǎn)為F、G．求：的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：2010-2011學(xué)年江蘇省南京27中高三（上）學(xué)情分析數(shù)學(xué)試卷（08）（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          在△ABC中，點(diǎn)B（0，1），直線AD：2x-y-4=0是角A的平分線．直線CE：x-2y-6=0是AB邊的中線．
          （1）求邊AC的直線方程；
          （2）圓M：x2+（y+1）2=r2（1≤r≤3），自點(diǎn)C向圓M引切線CF，CG，切點(diǎn)為F、G．求：的取值范圍．
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案