Question

如圖，圓與坐標軸交于點.
⑴求與直線垂直的圓的切線方程；
⑵設點是圓上任意一點（不在坐標軸上），直線交軸于點，直線交直線于點，
①若點坐標為，求弦的長；②求證：為定值.

Answer 1

（1），（2）①：2，②：證明略.

試題分析：（1）所求直線與垂直，則斜率為負倒數關系，因此可依方程設出所求直線方程，利用圓心到此直線的距離為半徑可求出此直線方程；（2）①為常考點，利用弦心距，半徑，弦長的一半三者構成勾股定理的關系求解；②設直線的方程為：，把轉化為含的代數式進行運算，也可設，把轉化為含的代數式進行運算.
試題解析：，直線，⑴設所求切線方程為：，則，所以：；
⑵①：，圓心到直線的距離，所以弦的長為；（或由等邊三角形亦可）.
②解法一：設直線的方程為：存在，，則
由，得，所以或，將代入直線，得，即，則，：，，，得，所以為定值．
解法二：設，則，直線，則，，直線，又，與交點，，將，代入得，所以，得為定值.