Question

設函數(shù)f(x)=

x+sinx

x

，g（x）=xcosx-sinx．
（1）求證：當x∈（0，π]時，g（x）＜0；
（2）存在x∈（0，π]，使得f（x）＜a成立，求a的取值范圍；
（3）若g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）轉化求函數(shù)g（x）在（0，π]上的最大值，利用函數(shù)的導數(shù)判斷單調性進而求解；
（2）依題意即轉化為求函數(shù)f（x）在（0，π]上的最小值，利用函數(shù)的導數(shù)判斷單調性進而求解；
（3）先表示出函數(shù)g（bx），將恒成立問題轉化為函數(shù)求最值問題，利用函數(shù)的導數(shù)判斷單調性進而求解，注意b的范圍的討論．

解答：解（1）因為當x∈（0，π]時，g'（x）=cosx-xsinx-cosx=-xsinx≤0，
所以g（x）在（0，π]上單調遞減，（3分）
又g（0）=0，所以當x∈（0，π]時，g（x）＜0（4分）
（2）因為f(x)=

x+sinx

x

=1+

sinx

x

，
所以f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，
由（1）知，當x∈（0，π]時，xcosx-sinx＜0，所以f'（x）＜0（6分）
所以f（x）在（0，π]上單調遞減，則當x∈（0，π]時，f（x）_min=f（π）=1（8分）
由題意知，f（x）＜a在（0，π]上有解，所以a＞f（x）_min，從而a＞1（10分）
（3）由g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1），得sinbx≥bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立，
①當b=-1，0，1時，不等式顯然成立（11分）
②當b＞1時，因為bx∈（0，bπ]，所以取x0=

π

b

∈(0，π]，
則有sinbx₀=0＜bsinx₀，從而時不等式不恒成立（12分）
③當0＜b＜1時，由（Ⅱ）可知h(x)=

sinx

x

在（0，π]上單調遞減，而0＜bx＜x≤π，
∴

sinx

x

＜

sinbx

bx

，
∴sinbx＞bsinx成立（14分）
④當-1＜b＜0時，當x∈（0，π]時，0＜-bx＜x≤π，
則

sinx

x

＜

sin(-bx)

-bx

=

sinbx

bx

，∴sinbx＜bsinx不成立，
綜上所述，當b=-1或0≤b≤1時，有g（bx）≤bxcosbx-bsinx（b≥-1）對x∈（0，π]恒成立．（16分）

點評：本題考查用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及根據函數(shù)的增減性求得到函數(shù)的最值，掌握不等式恒成立時所取的條件，“轉化”是這類題目解決的“靈魂”．