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        2. 


          
	
          
		
	
          
	
          
		
          
			
		
          
		
          
	
          

          



          

          

          


          


          
	
          
			
          

			
          
				給定的拋物線y2=2px（p＞0），在x軸上是否存在一點(diǎn)K，使得對于拋物線上任意一條過K的弦PQ，均有
          1
          |KP|2
          +
          1
          |KQ|2
          為定值，若存在，求出點(diǎn)K及定值；若不存在，說明理由．			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：先假設(shè)存在點(diǎn)K滿足條件，然后設(shè)出直線PQ的參數(shù)方程后代入到拋物線中得到關(guān)于t的一元二次方程，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，再代入到
          1
          |KP|2
          +
          1
          |KQ|2
          中得到
          1
          |KP|2
          +
          1
          |KQ|2
          =
          p2cos2α+px0sin2α
          p2x02
          ，從而可得到使得
          1
          |KP|2
          +
          1
          |KQ|2
          不隨α變化而變化，只要取x0=p即可滿足要求，即可求出點(diǎn)K的坐標(biāo)．
          解答：解：設(shè)存在點(diǎn)K（x0，0）滿足題意，
          直線PQ：
          x=x0+tcosα
          y=tsinα
          （α為直線的傾斜角，t為參數(shù)），
          代入y2=2px，得t2sin2α-（2pcosα）t-2px0=0，
          令t1，t2為方程的兩根，則由韋達(dá)定理，
          得t1+t2=
          2pcosα
          sin2α
          ，t1t2=-
          2px0
          sin2α
          ，
          ∴
          1
          |KP|2
          +
          1
          |KQ|2
          =
          1
          t
          2
          1
          +
          1
          t
          2
          2
          =
          t
          2
          1
          +
          t
          2
          2
          t
          2
          1
          t
          2
          2
          =
          (
          t
           
          1
          +
          t
           
          2
          )          2          -2
          t
           
          1
          t
           
          2
          (
          t
           
          1
          t
           
          2
          )          2
          =
          4p2cos2α+4px0sin2α
          4p2x02

          =
          p2cos2α+px0sin2α
          p2x02

          要使得
          1
          |KP|2
          +
          1
          |KQ|2
          不隨α變化而變化，只要取x0=p即可，
          此時
          1
          |KP|2
          +
          1
          |KQ|2
          =
          1
          p2
          為定值．這就是說這樣的K存在，即K（p，0）．
          點(diǎn)評：本題主要考查直線方程的參數(shù)形式和直線與拋物線的綜合應(yīng)用．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點(diǎn)，每年必考，要多加練習(xí)．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
				練習(xí)冊系列答案
		
          
		
				
			

					
          
				相關(guān)習(xí)題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          若A、B是拋物線y2=4x上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”．已知當(dāng)x＞2時，點(diǎn)P（x，0）存在無窮多條“相關(guān)弦”．給定x0＞2．
          （I）證明：點(diǎn)P（x0，0）的所有“相關(guān)弦”中的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；
          （II）試問：點(diǎn)P（x0，0）的“相關(guān)弦”的弦長中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
          （1）求
          OA
          •
          OB
          的值；
          （2）設(shè)
          AF
          =λ
          FB
          ，當(dāng)三角形OAB的面積S∈[2，
          		5
          ]時，求λ的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          給定整數(shù)n≥2，設(shè)M0（x0，y0）是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點(diǎn)．試證明對任意正整數(shù)m，必存在整數(shù)k≥2，使（
          x
          m
          0
          ，y
          m
          0
          ）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點(diǎn)．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學(xué)
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2012•長寧區(qū)二模）設(shè)拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P1，P2兩點(diǎn)，已知|P1P2|=8．
          （1）求拋物線C的方程；
          （2）設(shè)m＞0，過點(diǎn)M（m，0）作方向向量為
          d
          =(1，
          		3
          )          的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，求使∠AFB為鈍角時實(shí)數(shù)m的取值范圍；
          （3）①對給定的定點(diǎn)M（3，0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？若存在，請求出這條直線；若不存在，請說明理由．
          ②對M（m，0）（m＞0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？（只要求寫出結(jié)論，不需用證明）
          

			
          

			
          
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          同步練習(xí)冊答案